Question

8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinA=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，sinB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，C为钝角．
（Ⅰ）求A+B的值；
（Ⅱ）若bc=$\sqrt{10}$，求a，b，c的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知及同角三角函数基本关系式可求cosA，cosB的值，利用两角和的余弦函数公式可求cos（A+B）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，结合范围0＜A+B＜π，即可解得A+B的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sinC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由正弦定理得$\sqrt{10}$a=$\sqrt{5}$b=$\sqrt{2}$c，结合bc=$\sqrt{10}$，即可解得a，b，c的值．

解答 （本题满分为13分）
解：（Ⅰ）∵依题意，A，B为锐角，由sinA=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，sinB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴可得cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，…（3分）
∴cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$-$\frac{\sqrt{10}}{10}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$…（5分）
∵0＜A+B＜π，
∴A+B=$\frac{π}{4}$…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知C=$\frac{3π}{4}$，可得sinC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，…（7分）
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，可得$\sqrt{10}$a=$\sqrt{5}$b=$\sqrt{2}$c，…（10分）
即：b=$\sqrt{2}$a，c=$\sqrt{5}$a，
∵bc=$\sqrt{10}$，
∴a=1，b=$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{5}$…（13分）

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．