Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，AB⊥AC，AC=AB=AA₁，E、F分别是棱BC，A₁A的中点，G为棱CC₁上的一点，且C₁F∥平面AEG．
（Ⅰ）求

CG

CC1

的值；
（Ⅱ）求证：EG⊥A₁C；
（Ⅲ）求二面角A₁-AG-E的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出C₁F∥AG，G为CC₁中点，由此求出

CG

CC1

=

1

2

．
（Ⅱ）以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能证明EG⊥CA₁．
（Ⅲ）分别求出平面AEG的法向量和平面A₁AG的法向量，利用向量法能求出二面角A₁-AG-E的余弦值．

解答： （Ⅰ）解：因为C₁F∥平面AEG，又C₁F?平面ACC₁A₁，
平面ACC₁A₁∩平面AEG=AG，
所以C₁F∥AG．（3分）
因为F为AA₁中点，且侧面ACC₁A₁为平行四边形，
所以G为CC₁中点，所以

CG

CC1

=

1

2

．（4分）
（Ⅱ）证明：因为AA₁⊥底面ABC，
所以AA₁⊥AB，AA₁⊥AC，（5分）
又AB⊥AC，
如图，以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz，
设AB=2，则由AB=AC=AA₁，得C（2，0，0），B（0，2，0），C₁（2，0，2），A₁（0，0，2），A（0，0，0），（6分）
因为E，G分别是BC，CC₁的中点，
所以E（1，1，0），G（2，0，1）．（7分）
所以

EG

=(1，-1，1)，

CA1

=(-2，0，2)，
因为

EG

•

CA1

=（1，-1，1）•（-2，0，2）=0．（8分）
所以

EG

⊥

CA1

，
所以EG⊥CA₁．（9分）
（Ⅲ）解：设平面AEG的法向量

n

=(x，y，z)，
因为

AE

=(1，1，0)，

AG

=(2，0，1)，
所以

n • AE =x+y=0 n • AG =2x+z=0

，（10分）
令x=1，得

n

=（1，-1，-2）．（11分）
由已知得平面A₁AG的法向量

m

=(0，1，0)，（11分）
所以cos＜

n

，

m

＞=

-1

6

=-

6

6

，（13分）
由题意知二面角A₁-AG-E为钝角，
所以二面角A₁-AG-E的余弦值为-

6

6

．（14分）

点评：本题考查两条线段的比值的求法，考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．