Question

5．已知f（x）=x²•e^x，若函数g（x）=f²（x）-kf（x）+1恰有三个零点，则下列结论正确的是（　　）

• A． k=±2
• B． k=$\frac{8}{{e}^{2}}$
• C． k=2
• D． k=$\frac{4}{{e}^{2}}$+$\frac{{e}^{2}}{4}$

Answer 1

分析 通过函数g（x）=f²（x）-kf（x）+1恰有三个零点，则要求g（x）=0有两个正解，设为：x₁，x₂；即要求f（x）=x₁，或f（x）=x₂；有3个解；转化为y=f（x）与y=x₁的交点的个数以及y=f（x）与y=x₂的交点的个数和为3，结合函数f（x）=x²•e^x，的图象推出k=x₁+x₂的值即可．

解答 解：f（x）=x²•e^x，若函数g（x）=f²（x）-kf（x）+1恰有三个零点，则要求g（x）=0有两个正解，设为：x₁，x₂；即要求f（x）=x₁，或f（x）=x₂；有3个解；即要求y=f（x）与y=x₁的交点的个数以及y=f（x）与y=x₂的交点的个数和为3，结合函数f（x）=x²•e^x的图象，不妨设y=f（x）与y=x₁的交点个数为2，则x₁=f（-2）=$\frac{4}{{e}^{2}}$，又x₁•x₂=1，则x₂=$\frac{{e}^{2}}{4}$，故k=x₁+x₂=$\frac{4}{{e}^{2}}+\frac{{e}^{2}}{4}$．
故选：D．

点评 本题考查函数的零点个数的求法，考查数形结合以及计算能力，转化思想的应用．