Question

【题目】《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑中，平面，，且，过点分别作于点，于点，连接，则三棱锥的体积的最大值为__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

由已知可得△AEF、△PEF均为直角三角形，且AF＝2，由基本不等式可得当AE＝EF＝2时，△AEF的面积最大，然后由棱锥体积公式可求得体积最大值．

由PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，

又AB⊥BC，且PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，则BC⊥AE，

又PB⊥AE，则AE⊥平面PBC，

于是AE⊥EF，且AE⊥PC，结合条件AF⊥PC，得PC⊥平面AEF，

∴△AEF、△PEF均为直角三角形，由已知得AF＝2，

而S△AEF＝（AE2+EF2）＝AF2＝2，

当且仅当AE＝EF=2时，取“＝”，此时△AEF的面积最大，

三棱锥P﹣AEF的体积的最大值为：

VP﹣AEF＝＝＝．

故答案为：