Question

5．实数x，y满足x-3$\sqrt{x+1}$=3$\sqrt{y+2}$-y，则x+y的最小值为$\frac{9+3\sqrt{21}}{2}$，最大值为9+3$\sqrt{15}$．

Answer 1

分析 令a=$\sqrt{x+1}$（a≥0），b=$\sqrt{y+2}$（b≥0），则x=a²-1，y=b²-2，即为（a-$\frac{3}{2}$）²+（b-$\frac{3}{2}$）²=$\frac{15}{2}$，其几何意义为以C（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）为圆心，$\frac{\sqrt{30}}{2}$为半径的圆弧（位于第一象限），则x+y=a²+b²-3，其几何意义是点（a，b）与原点的距离的平方与3的差．画出圆弧，运用圆的性质，即可计算得到最值．

解答 解：令a=$\sqrt{x+1}$（a≥0），b=$\sqrt{y+2}$（b≥0），
则x=a²-1，y=b²-2，
即有a²-1-3a=3b-（b²-2），
即为（a-$\frac{3}{2}$）²+（b-$\frac{3}{2}$）²=$\frac{15}{2}$，
其几何意义为以C（$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$）为圆心，
$\frac{\sqrt{30}}{2}$为半径的圆弧（位于第一象限），
则x+y=a²+b²-3，其几何意义是点（a，b）与原点的距离的平方与3的差．
由右图可得OA（或OB）最短，连接OC延长交圆于D，则OD最长．
则|OD|=|OC|+|CD|=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{30}}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{30}}{2}$；
由（a-$\frac{3}{2}$）²+（b-$\frac{3}{2}$）²=$\frac{15}{2}$，令a=0（或b=0）则b=$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$（或a=$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$），
|OA|=|OB|=$\frac{3+\sqrt{21}}{2}$，
则x+y的最大值为9+3$\sqrt{15}$，最小值为$\frac{9+3\sqrt{21}}{2}$．
故答案为：9+3$\sqrt{15}$，$\frac{9+3\sqrt{21}}{2}$．

点评 本题考查给出条件求最值，主要考查换元法和圆的方程的运用，考查数形结合和运算能力，属于中档题．