Question

20．已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且不等式f（x）＞-2x的解集为（1，3）．若方程f（x）+6a=0有两个相等的根，求f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 根据一元二次不等式f（x）＞-2x的解集，得出不等式x²-4x+3＜0；再利用方程f（x）+6a=0有两个相等的实根，求出二次函数f（x）的解析式，得出它的单调区间．

解答 解：根据题意，得；
一元二次不等式f（x）＞-2x，
即f（x）+2x＞0的解集为（1，3），
∴不等式x²-（1+3）x+1×3＜0，
即x²-4x+3＜0；
∴f（x）+2x=-k（x²-4x+3），k＞0
∴f（x）=-kx²+（4k-2）x-3k，a=-k；
∴方程f（x）+6a=0化为
-kx²+（4k-2）x-9k=0，它有两个相等的实根，
∴△=（4k-2）²-36k²=0，
解得k=$\frac{1}{5}$，k=-1（不合题意，舍去）；
∴f（x）=-$\frac{1}{5}$x²-$\frac{6}{5}$x-$\frac{3}{5}$，
∴二次函数f（x）的单调增区间是（-∞，-3]，
单调减区间是[-3，+∞）．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了根与系数的应用问题，是基础题目．