Question

14．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的虚半轴长为1，离心率e=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，左、右焦点分别为F₁，F₂．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若过右焦点F₂作垂直于x轴的直线1，交双曲线于A、B两点，求|AB|的长．

Answer 1

分析 （1）运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，c，进而得到双曲线的方程；
（2）求得直线l的方程，代入双曲线的方程，求得A，B的坐标，进而得到AB的长．

解答 解：（1）由题意可得，b=1，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
又a²+b²=c²，解得a=$\sqrt{3}$，c=2，
则双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1；
（2）右焦点F₂（2，0），
过右焦点F₂作垂直于x轴的直线1：x=2，
代入双曲线的方程，可得：
y²=$\frac{1}{3}$，解得y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
即有|AB|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，考查弦长的求法，注意联立直线和双曲线的方程，考查运算能力，属于基础题．