Question

4．2008年5月12日，四川汶川地区发生里氏8.0级特大地震．在随后的几天中，地震专家对汶川地区发生的余震进行了监测．记录的部分数据如下表：

强度（J）	1.6×1019	3.2×1019	4.5×1019	6.4×1019
震级（里氏）	5.0	5.2	5.3	5.4

（注：地震强度是指地震时释放的能量）
（1）画出震级（y）随地震强度（x）的变化散点图；

（2）根据散点图，从函数y=kx+b，y=algx+b，y=a•10^x+b中选取一个函数描述震级y随地震强度x的变化关系；
（3）四川汶川地区发生里氏8.0级特大地震时释放的能量约是多少？（取lg2=0.3）

Answer 1

分析 （1）由题中的表格，取地震强度的单位为10¹⁹，得到各个点的坐标，在坐标系中找出即可；
（2）根据作出的散点，分析可能连成的曲线的单调性与变化率，得到它近似符合对数函数模型，即选择对数函数模型；
（3）根据（2）中选择的函数，代入点的坐标解出a、b之值，得出函数表达式，求出y=8时的x值即可．

解答 解：（1）根据题中的表格，以地震强度为横坐标x、震级（单位为10¹⁹）为纵坐标y，
得到点（1.6，5.0），（3.2，5.2），（4.5，5.3），（6.4，5.4）；
在坐标系描出各个点，如右图所示；
（2）根据散点图，可得若将它们连成平滑的曲线，
该曲线的走势是增函数，且变化率由快逐渐变慢．
对照表格中的数据与提供的函数，可知宜选择对数型函数，
所以应该选择y=algx+b；
（3）根据表格中的数据，将点（1.6，5.0）
与（3.2，5.2）代入，得$\left\{\begin{array}{l}{5.0=alg（1.6{×10}^{19}）+b}\\{5.2=alg（3.2{×10}^{19}）+b}\end{array}\right.$．
解得：a=$\frac{2}{3}$，b=-7.8，可得函数表达式为y=$\frac{2}{3}$lgx-7.8．
由此算出：当y=8.0时，$\frac{2}{3}$lgx-7.8=8.0，解得x≈10²⁴（J）
即发生里氏8.0级特大地震时释放的能量约为10²⁴（J）．

点评 本题着重考查了基本初等函数模型的选择、函数图象的作法与函数解析式的求法等知识，考查了数学建模的实际应用能力，是综合题目．