Question

10．已知R上的不间断函数g（x）满足：
①当x＞0时，g'（x）＜0恒成立；
②对任意的x∈R都有g（-x）=-g（x）．函数f（x）满足：对任意的x∈R，都有f（$\sqrt{3}$+x）=-f（x）成立，当x∈[0，$\sqrt{3}$]时，f（x）=x³-3x．
若关于x的不等式g[f（x）]≥g（a²-a+2），对于x∈[-3，3]恒成立，则a的取值范围为（-∞，0]∪[1，+∞）．

Answer 1

分析 由于函数g（x）满足：①当x＞0时，g'（x）＞0恒成立（g'（x）为函数g（x）的导函数）；②对任意x∈R都有g（x）=g（-x），这说明函数g（x）为R上的偶函数且在[0，+∞）上为单调递增函数，且有g|（x|）=g（x），所以g[f（x）]≤g（a²-a+2）?|f（x）|≤|a²-a+2|对x∈[-3，3]恒成立，只要使得|f（x）|在定义域内的最大值小于等于|a²-a+2|的最小值，然后解出即可．

解答 解：因为函数g（x）满足：当x＞0时，g'（x）＞0恒成立，
且对任意x∈R都有g（x）=g（-x），
则函数g（x）为R上的偶函数且在[0，+∞）上为单调递增函数，
且有g（|x|）=g（x），
所以g[f（x）]≤g（a²-a+2）在R上恒成立，
∴|f（x）|≤|a²-a+2|对x∈[-3，3]恒成立，
只要使得定义域内|f（x）|_max≤|a²-a+2|，
由于当x∈[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{3}-3\sqrt{3}{x}^{2}-6x，x∈[-\sqrt{3}，0]}\\{{x}^{3}-3x，x∈[0，\sqrt{3}]}\end{array}\right.$，
当x∈[-$\sqrt{3}$，0]时，令f′（x）=-3x2-6$\sqrt{3}$x-6=0，得x=1-$\sqrt{3}$或x=1+$\sqrt{3}$（舍去）
∴f（x）在[-$\sqrt{3}$，1-$\sqrt{3}$]上单调递增，在[1-$\sqrt{3}$，0]上单调递减，
∴f（x）_max=f（1-$\sqrt{3}$）=2，f（x）_min=f（-$\sqrt{3}$）=f（0）=0，
当x∈[0，$\sqrt{3}$]时，f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）=0，得x=1或x=-1（舍去），
∴f（x）在[0，1]上单调递减，在[1，$\sqrt{3}$]上单调递增，
∴f（x）_min=f（1）=-2，f（x）_max=f（0）=f（$\sqrt{3}$）=0，
又由于对任意的x∈R都有f（ $\sqrt{3}$+x）=-f（x），
∴f（2$\sqrt{3}$+x）=-f（$\sqrt{3}$+x）=f（x）成立，则函数f（x）为周期函数且周期为T=2$\sqrt{3}$，
所以函数f（x）在x∈[-3，3]的最大值为2，所以令2≤|a²-a+2|解得：a≥1或a≤0．
故答案为：（-∞，0]∪[1，+∞）．

点评 此题考查了利用导函数求得函数在定义域上为单调递增函数，函数的周期的定义，及利用周期可以求得当x∈[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]时，f（x）=x³-3x，的值域为[-2，2]，还考查了函数恒成立条件的应用．