Question

15．已知函数f（x）=$\frac{{{x^2}+1}}{bx+c}$的定义域为{x∈R|x≠0}，且f（1）=2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在[1，+∞）上的单调性，并用定义证明结论；
（3）求函数在区间[1，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用函数的定义域以及函数值考查方程求解即可．
（2）利用函数的单调性的定义证明即可．
（3）利用函数的单调性，真假求解函数的最值．

解答 解：（1）由已知bx+c≠0，即x≠0，∴b≠0，c=0，
又∵f（1）=2，∴b=1，
∴$f（x）=\frac{{{x^2}+1}}{x}=x+\frac{1}{x}$…（4分）
（2）函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．
证明：任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂
则$f（{x_1}）-f（{x_2}）={x_1}+\frac{1}{x_1}-{x_2}-\frac{1}{x_2}=（{{x_1}-{x_2}}）（{1-\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}}）$…（6分）
∵1≤x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，$1-\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}＞0$∴$（{{x_1}-{x_2}}）（{1-\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}}）＜0$，
即f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．…（8分）
（3）由（2）知函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，
∴函数f（x）在[1，2]上也是增函数，
∴$f{（x）_{max}}=f（2）=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}，f{（x）_{min}}=f（1）=1+1=2$．
故所求函数的最大值为$\frac{5}{2}$，最小值为2．…（12分）

点评 本题考查函数的综合应用，函数的解析式的求法，单调性的判断与证明，单调性的应用，考查计算能力．