Question

已知函数f（x）=-2

3

sin²x+sin2x+

3

．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（Ⅱ）在给出的直角坐标系中，画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：

分析：（1）先利用三角恒等变换公式对函数的解析式进行化简，用二倍角公式和两个角的和的正弦公式，再依据化简后的解析式求三角函数的周期．
（2）在所给的区间上找出函数值域的几个特殊点：最大值和最小值点，再列出表格，在坐标系中描出点画出函数图象．

解答： 解：（1）由题意得，f（x）=

3

(1-2sin2x)+sin2x
=sin2x+

3

cos2x=2sin(2x+

π

3

)…（2分）
∴函数的最小正周期T=π，
由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

π

2

+2kπ（k∈Z）得，
-

5π

12

+kπ≤x≤

π

12

+kπ，k∈Z
所以函数f（x）的单调递增区间为[-

5π

12

+kπ，

π

12

+kπ]（k∈Z）…（6分）
（2）由y=2sin（2x+

π

3

）知，列表如下：

x	0	π 12	π 3	7π 12	5π 6	π
y	3	2	0	-2	0	3

函数y=f（x）在区间[0，π]上，图象如图：

点评：本题考查三角函数的最值，以及函数的图象的作法，解题的关键是对函数的解析式进行化简，以及熟练掌握正弦函数的性质，作三角函数函数的图象一般用五点法作图，化简函数f（x）的解析式是解题的突破口．