Question

已知函数f（x）=lg[a^2x+2（ab）^x-b^2x+1]（a＞0，b＞0），求使f（x）＞0成立的x的取值范围．

Answer 1

考点：函数与方程的综合运用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：由已知a^2x+2（ab）^x-b^2x+1＞1，即a^2x+2（ab）^x-b^2x＞0，两边都除以b^2x得，(

a

b

)2x+2(

a

b

)x-1＞0，换元，分类讨论，即可求使f（x）＞0成立的x的取值范围．

解答： 解：由已知a^2x+2（ab）^x-b^2x+1＞1，即a^2x+2（ab）^x-b^2x＞0（2分）
两边都除以b^2x得，(

a

b

)2x+2(

a

b

)x-1＞0．
设(

a

b

)x=t，则t＞0，不等式可化为t²+2t-1＞0，∴t＞

2

-1
即(

a

b

)x＞

2

-1（7分）
当a＞b时，

a

b

＞1，x＞log

a

b

(

2

-1)（8分）
当a＜b时，1＞

a

b

＞0，x＜log

a

b

(

2

-1)（9分）
当a=b时，

a

b

=1，x∈R（10分）

点评：本题考查函数与方程的综合运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．