Question

已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）-

1

2

．
（Ⅰ）若sinα=

5

5

，且

π

2

＜α＜π，求f（α）的值；
（Ⅱ）当f（x）取得最小值时，求自变量x的集合．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）由同角三角函数的基本关系可得cosα的值，代入要求的式子化简可得；（Ⅱ）化简可得f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

），可得当2x+

π

4

=2kπ-

π

2

，k∈Z，时满足题意，变形可得x的集合．

解答： 解：（Ⅰ）∵sinα=

5

5

，且

π

2

＜α＜π，
∴cosα=-

1-sin2α

=-

2 5

5

，
∴f（α）=cosα（sinα+cosα）-

1

2

=-

2 5

5

×（

5

5

-

2 5

5

）-

1

2

=-

1

10

；
（Ⅱ）化简可得f（x）=sinxcosx+cos²x-

1

2

=

1

2

sin2x+

1+cos2x

2

-

1

2

=

1

2

sin2x+

1

2

cos2x
=

2

2

sin（2x+

π

4

）
当2x+

π

4

=2kπ-

π

2

，k∈Z，即x=kπ-

3π

8

，k∈Z时，f（x）取得最小值-

2

2

，
此时自变量x的集合为{x|x=kπ-

3π

8

，k∈Z}

点评：本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的最值和同角三角函数的基本关系，属基础题．