Question

已知数列{a_n}满足：a₁=

1

4

，a₂=

3

4

，2a_n=a_n+1+a_n-1（n≥2，n∈N^•），数列{b_n}满足：b₁＜0，3b_n-b_n-1=n（n≥2，n∈R），数列{b_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求证：数列{b_n-a_n}为等比数列；
（Ⅱ）求证：数列{b_n}为递增数列；
（Ⅲ）若当且仅当n=3时，S_n取得最小值，求b₁的取值范围．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得{a_n}是等差数列，an=

1

4

+(n-1)•

1

2

=

2n-1

4

，b_n+1-a_n+1=

1

3

bn+

n+1

3

-

2n+1

4

=

1

3

(bn-an)．由此能证明{b_n-a_n}是以b1-

1

4

为首项，以

1

3

为公比的等比数列．
（Ⅱ）由bn=(b1-

1

4

)•(

1

3

)n-1+

2n-1

4

．得当n≥2时，b_n-b_n-1=

1

2

-

2

3

(b1-

1

4

)(

1

3

)n-2．由此能证明{b_n}是单调递增数列．
（Ⅲ）由已知得

b3＜0 b4＞0

，由此能求出b₁的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵2a_n=a_n+1+a_n-1（n≥2，n∈N^•），
∴{a_n}是等差数列．
又∵a₁=

1

4

，a₂=

3

4

，
∴an=

1

4

+(n-1)•

1

2

=

2n-1

4

，
∵bn=

1

3

bn-1+

n

3

，（n≥2，n∈N^*），
∴b_n+1-a_n+1=

1

3

bn+

n+1

3

-

2n+1

4

=

1

3

bn-

2n-1

12

=

1

3

(bn-

2n-1

4

)
=

1

3

(bn-an)．
又∵b1-a1=b1-

1

4

≠0，
∴{b_n-a_n}是以b1-

1

4

为首项，以

1

3

为公比的等比数列．

（Ⅱ）∵b_n-a_n=（b₁-

1

4

）•（

1

3

）^n-1，an=

2n-1

4

．
∴bn=(b1-

1

4

)•(

1

3

)n-1+

2n-1

4

．
当n≥2时，b_n-b_n-1=

1

2

-

2

3

(b1-

1

4

)(

1

3

)n-2．
又b₁＜0，∴b_n-b_n-1＞0．
∴{b_n}是单调递增数列．  

（Ⅲ）∵当且仅当n=3时，S_n取最小值．
∴

b3＜0 b4＞0

，即

5 4 +(b1- 1 4 )( 1 3 )2＜0 7 4 +(b1- 1 4 )( 1 3 )3＞0

，
∴b₁∈（-47，-11）．

点评：本题考查等比数列的证明，考查增数列的证明，考查数列的首项的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．