Question

1．已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x+1）=$\sqrt{f（x）{-f}^{2}（x）}+\frac{1}{2}$，数列{a_n}满足a_n=f²（n）-f（n），n∈N^*，若其前n项和为-$\frac{35}{16}$，则n的值为（　　）

• A． 16
• B． 17
• C． 18
• D． 19

Answer 1

分析 根据f（x+1）=$\sqrt{f（x）{-f}^{2}（x）}+\frac{1}{2}$，移项后平方，a_n=f²（n）-f（n），n∈N^*，可得a_n+1+a_n=$-\frac{1}{4}$，令x=0，可得f（1）=$\frac{1}{2}$，可得偶数项的值为0．从而可得前n项和为-$\frac{35}{16}$，时n的值．

解答 解：∵f（x+1）=$\sqrt{f（x）{-f}^{2}（x）}+\frac{1}{2}$，
∴f（x+1）-$\frac{1}{2}$=$\sqrt{f（x）-{f}^{2}（x）}$，
两边平方，得[f（x+1）-$\frac{1}{2}$]²=f（x）-f²（x）
化简得[f²（x+1）-f（x+1）+$\frac{1}{4}$]=-[f²（x）-f（x）]
∵a_n=f²（n）-f（n），可得a_n+1=f²（n+1）-f（n+1），
∴a_n+1+a_n=[f²（n+1）-f（n+1）]+[f²（n）-f（n）]=-$\frac{1}{4}$，
∵定义在R上的函数f（x）满足：f（x+1）=$\sqrt{f（x）{-f}^{2}（x）}+\frac{1}{2}$，
令x=0，可得f（1）=$\frac{1}{2}$
那么：a₁=f²（1）-f（1）=-$\frac{1}{4}$．
∵a_n+1+a_n=$-\frac{1}{4}$，即偶数项的值为0．
∵数列前n项和为-$\frac{35}{16}$=$-2-\frac{3}{16}$
∴S₁₆=-2，S₁₈=-2.25．
满足题意n的值为17．
故选B

点评 本题主要考查数列和函数的应用，根据条件推出数列的递推关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．