Question

10．已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{1}{2}$，椭圆E和抛物线y²=$\frac{9}{4}$x交于M，N两点，且直线MN恰好通过椭圆E的右焦点F₂．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）已知椭圆E的左焦点为F₁，左、右顶点分别为A，B，经过点F₁的直线l与椭圆E交于C，D两点，记△ABD与△ABC的面积分别为S₁，S₂，求|S₁-S₂|的最大值．

Answer 1

分析 （1）不妨设M$（c，\frac{{b}^{2}}{a}）$，则$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\frac{3}{2}\sqrt{c}$，又$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，联立解得椭圆E的标准方程．
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-1．此时D$（-1，\frac{3}{2}）$，C$（-1，-\frac{3}{2}）$，△ABD与△ABC的面积相等．则|S₁-S₂|=0．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1）．（k≠0），设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），y₁y₂＜0．联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化为：（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，|S₁-S₂|=2||y₁|-|y₂||=2|y₂+y₁|=2|k（x₁+x₂）+2k|=$\frac{12|k|}{3+4{k}^{2}}$．利用基本不等式的性质即可堵车．

解答 解：（1）不妨设M$（c，\frac{{b}^{2}}{a}）$，则$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\frac{3}{2}\sqrt{c}$，又$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，联立解得a=2，c=1，b²=3．
∴椭圆E的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-1．此时D$（-1，\frac{3}{2}）$，C$（-1，-\frac{3}{2}）$，△ABD与△ABC的面积相等．
则|S₁-S₂|=0．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1）．（k≠0），设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），y₁y₂＜0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化为：（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，△＞0，x₁+x₂=$\frac{-8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
△ABD与△ABC的面积相等．
则|S₁-S₂|=2||y₁|-|y₂||=2|y₂+y₁|=2|k（x₁+x₂）+2k|=$\frac{12|k|}{3+4{k}^{2}}$．
k≠0时，$\frac{12|k|}{3+4{k}^{2}}$=$\frac{12}{\frac{3}{|k|}+4|k|}$≤$\frac{12}{2\sqrt{3×4}}$=$\sqrt{3}$．当且仅当k=$±\frac{\sqrt{3}}{2}$时取等号，
∴|S₁-S₂|的最大值为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、基本不等式的性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．