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(2013•辽宁一模)甲乙两人进行乒乓球对抗赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一个比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为P(P>
1
2
)
,且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为
5
9
.若图为统计这次比赛的局数n和甲,乙的总得分数S,T的程序框图.其中如果甲获胜则输入a=1,b=0.如果乙获胜,则输入a=0,b=1.
(1)在图中,第一,第二两个判断框应分别填写什么条件?
(2)求P的值.
(3)设ξ表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ.
分析:(1)从框图知,这是一个含有两个条件的框图,结合题目所给的条件,程序框图中的第一个条件框应填M=2,第二个应填n=6.
(2)依题意得,当甲连胜2局或乙连胜2局时,第二局比赛结束时比赛停止.所以p2+(1-p)2=
5
9
,由此能求出p的值.
(3)依题意知,ξ的所有可能值为2,4,6.设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为
5
9
.若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.写出分布列和期望.
解答:解:(1)程序框图中的第一个条件框应填M=2,第二个应填n=6.…(8分)
注意:答案不唯一. 如:第一个条件框填M>1,第二个条件框填n>5,或者第一、第二条件互换,都可以.
(2)依题意得,当甲连胜2局或乙连胜2局时,第二局比赛结束时比赛停止.
所以p2+(1-p)2=
5
9

解得:p=
2
3
或p=
1
3

因为p>
1
2
,所以p=
2
3
.…(6分)
(3)依题意知,ζ的所有可能值为2,4,6.                            …(9分)
由已知 P(ξ=2)=
5
9
,P(ξ=4)=C
 
1
2
p3(1-p)+C
 
1
2
(1-p)3p=
20
81

P(ξ=6)=1-P(ξ=2)-P(ξ=4)=
16
81
.…(11分)
∴随机变量ζ的分布列为:
ζ 2 4 6
P
5
9
20
81
16
81
故Eξ=2×
5
9
+4×
20
81
+6×
16
81
=
266
81
.…(12分)
点评:本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望,是中档题.解题时要认真审题,仔细解答,注意概率知识的合理运用.
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