Question

【题目】在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面， 分别是的中点， ， .

（Ⅰ）求证： 平面；

（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）（Ⅲ）在存在一点，使得平面平面，且.

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据中位线定理得， ，所以为平行四边形，进而可证平面；

（Ⅱ）建立直角坐标系， ，求解平面的法向量为，设与平面所成角为，利用求解即可；

（Ⅲ）设上存在一点，则，令，求解即可.

试题解析：

（Ⅰ）证明：取中点，连接.

因为分别是的中点，

所以，且.

因为是矩形， 是中点，

所以， .

所以为平行四边形.

所以.

又因为平面， 平面，

所以平面.

（Ⅱ）因为平面，

所以， .

因为四边形是矩形，所以.

如图建立直角坐标系，

所以， ， ，

所以， .

设平面的法向量为，

因为，所以.

令，所以，所以.

又因为，

设与平面所成角为，

所以 .

所以与平面所成角的正弦值为.

（Ⅲ）因为侧棱底面，

所以只要在上找到一点，使得，

即可证明平面平面.

设上存在一点，则，

所以.

因为，

所以令，即，所以.

所以在存在一点，使得平面平面，且.