Question

20．设函数f（x）=|x-1|+|2x-a|，若关于x的不等式f（x）≥$\frac{1}{4}{a^2}$+1对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是[-2，0]．

Answer 1

分析 分类讨论化简函数f（x）的解析式，利用单调性求得函数的最小值，再由此最小值大于或等于$\frac{1}{4}{a^2}$+1，从而求得a的范围．

解答 解：当$\frac{a}{2}$＜1时，由于f（x）=|x-1|+|2x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{a+1-3x，x＜\frac{a}{2}}\\{x+1-a，\frac{a}{2}≤x＜1}\\{3x-1-a，x≥1}\end{array}\right.$，故函数f（x）的最小值为f（$\frac{a}{2}$）=1-$\frac{a}{2}$，
由关于x的不等式f（x）≥$\frac{1}{4}{a^2}$+1对x∈R恒成立，可得1-$\frac{a}{2}$≥$\frac{1}{4}{a^2}$+1，求得-2≤a≤0．
当$\frac{a}{2}$≥1，由于f（x）=|x-1|+|2x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{a+1-3x，x＜1}\\{x+1-a，1≤x＜\frac{a}{2}}\\{3x-1-a，x≥\frac{a}{2}}\end{array}\right.$，故函数f（x）的最小值为f（1）=2-a，
由关于x的不等式f（x）≥$\frac{1}{4}{a^2}$+1对x∈R恒成立，可得2-a≥$\frac{1}{4}{a^2}$+1，求得a∈∅，
综上可得a的范围为[-2，0]，
故答案为：[-2，0]．

点评 本题主要考查带有绝对值的函数，利用函数的单调性求函数的最值，函数的恒成立问题，属于中档题．