Question

8．已知函数f（x）=x-1-lnx
（1）求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的极值．

Answer 1

分析 （1）求函数的导数，利用导数的几何意义即可曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）求函数的导数，根据函数极值和导数之间的关系即可求函数f（x）的极值．

解答 解：（1）函数的定义域为（0，+∞），
函数的f（x）的导数f′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$，
则f′（2）=$\frac{2-1}{2}$=$\frac{1}{2}$，f（2）=2-1-ln2=1-ln2，
则曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-（1-ln2）=$\frac{1}{2}$（x-2），
即y=（1-ln2）+$\frac{1}{2}$（x-2）=$\frac{1}{2}$x-ln2；
（2）∵f′（x）=$\frac{x-1}{x}$，
∴由f′（x）＞0得x＞1，此时函数递增，
由f′（x）＜0得0＜x＜1，此时函数递减，
故当x=1时，函数取得极大值f（1）=1-1-ln1=0，无极小值．

点评 本题主要考查函数切线的求解，以及函数极值的求解，利用导数的应用是解决本题的关键．