Question

15．.已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx）-0.5．
（1）若0＜β＜90°，sinβ=0.6，求f（β）．
（2）求f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用sinβ=0.6，求f（β）的值．
（2）将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；

解答 解：函数f（x）=cosx（sinx+cosx）-0.5．
化简得：f（x）=sinxcosx+cos²x-$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}cos2x-\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}sin（2x+\frac{π}{4}）$
（1）∵0＜β＜90°，sinβ=$\frac{3}{5}$；
∴cosβ=$\frac{4}{5}$．
则f（β）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2$β+\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$sin2β+$\frac{1}{2}$cos2β=sinβcosβ+$\frac{1}{2}（1-2si{n}^{2}β）$=$\frac{12}{25}$+$\frac{1}{2}-\frac{9}{25}$=$\frac{31}{50}$
（2）由sinx的图象及性质可得：$2x+\frac{π}{4}∈$[2kπ$-\frac{π}{2}$，2kπ$+\frac{π}{2}$]（k∈Z）是单调增区间．即2kπ$-\frac{π}{2}$≤$2x+\frac{π}{4}$≤2kπ$+\frac{π}{2}$
解得：$kπ-\frac{3π}{8}≤x≤kπ+\frac{π}{8}$
所以函数f（x）的单调增区间为[$kπ-\frac{3π}{8}$，$kπ+\frac{π}{8}$]（k∈Z）．

点评 本题考查了三角函数的化简能力和二倍角公式的运用，以及三角函数的图象及性质．属于基础题．