Question

13．在数列{a_n}中，已知a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{3{a}_{n}+2}$（n∈N₊），求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 把已知的数列递推式变形，得到数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项，以$\frac{3}{2}$为公差的等差数列，由等差数列的通项公式得答案．

解答 解：由a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{3{a}_{n}+2}$，得$\frac{1}{{a}_{n+1}}=\frac{3{a}_{n}+2}{2{a}_{n}}=\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{3}{2}$，
即$\frac{1}{{a}_{n+1}}-\frac{1}{{a}_{n}}=\frac{3}{2}$，
又a₁=1，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项，以$\frac{3}{2}$为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}=1+\frac{3}{2}（n-1）=\frac{3}{2}n-\frac{1}{2}$=$\frac{3n-1}{2}$，
则${a}_{n}=\frac{2}{3n-1}$．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了等差数列的通项公式，是中档题．