【题目】在平面直角坐标系中,椭圆
:
的离心率是
,且直线
:
被椭圆
截得的弦长为
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若直线与圆
:
相切:
(i)求圆的标准方程;
(ii)若直线过定点
,与椭圆
交于不同的两点
、
,与圆
交于不同的两点
、
,求
的取值范围.
【答案】(I);(II)(i)
;(ii)
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)由直线过定点
,
,可得到
,再结合
,即可求出椭圆的方程;(Ⅱ)(i)利用圆的几何性质,求出圆心到直线
的距离等于半径,即可求出
的值,即可求出圆
的标准方程;(ii)首先设直线
的方程为
,利用韦达定理即可求出弦长
的表达式,同理利用圆的几何关系可求出弦长
的表达式,即可得到
的表达式,再用换元法
,即可求出
的取值范围.
试题解析:
解:(Ⅰ)由已知得直线过定点
,
,
,
又,
,解得
,
,
故所求椭圆的标准方程为
.
(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)得直线的方程为
,即
,
又圆的标准方程为
,
∴圆心为,圆的半径
,
∴圆的标准方程为
.
(ii)由题可得直线的斜率存在,
设:
,与椭圆
的两个交点为
、
,
由消去
得
,
由,得
,
,
,
∴.
又圆的圆心
到直线
:
的距离
,
∴圆截直线
所得弦长
,
∴,
设,
,
则,
∵的对称轴为
,在
上单调递增,
,
∴,
∴.
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【题目】博鳌亚洲论坛2015年会员大会于3月27日在海南博鳌举办,大会组织者对招募的100名服务志愿者培训后,组织一次 知识竞赛,将所得成绩制成如右频率分布直方图(假定每个分数段内的成绩均匀分布),组织者计划对成绩前20名的参赛者进行奖励.
(1)试确定受奖励的分数线;
(2)从受奖励的20人中利用分层抽样抽取5人,再从抽取的5人中抽取2人在主会场服务,试求2人成绩都在90分以上的概率.
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【题目】[选修4-4,坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中,曲线C的参数方程为
,以坐标原点为极点,以
轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
。
(1)求直线的直角坐标方程和曲线C的普通方程。
(2)设点P为曲线C上的任意一点,求点P到直线的距离的最大值。
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【题目】(2016高考新课标II,理15)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是________.
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【题目】在正四棱锥中,已知异面直线
与
所成的角为
,给出下面三个命题:
:若
,则此四棱锥的侧面积为
;
:若
分别为
的中点,则
平面
;
:若
都在球
的表面上,则球
的表面积是四边形
面积的
倍.
在下列命题中,为真命题的是( )
A. B.
C.
D.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若直线l的极坐标方程为,曲线C的极坐标方程为:
,将曲线C上所有点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,然后再向右平移一个单位得到曲线C1.
(1)求曲线C1的直角坐标方程;
(2)已知直线l与曲线C1交于A,B两点,点P(2,0),求|PA|+|PB|的值.
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【题目】某县政府为了引导居民合理用水,决定全面实施阶梯水价,阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用水量为基准定价:若用水量不超过12吨时,按4元/吨计算水费;若用水量超过12吨且不超过14吨时,超过12吨部分按6.60元/吨计算水费;若用水量超过14吨时,超过14吨部分按7.80元/吨计算水费.为了了解全市居民月用水量的分布情况,通过抽样,获得了100户居民的月用水量(单位:吨),将数据按照,
,…,
分成8组,制成了如图1所示的频率分布直方图.
(图1) (图2)
(Ⅰ)通过频率分布直方图,估计该市居民每月的用水量的平均数和中位数(精确到0.01);
(Ⅱ)求用户用水费用(元)关于月用水量
(吨)的函数关系式;
(Ⅲ)如图2是该县居民李某2017年1~6月份的月用水费(元)与月份
的散点图,其拟合的线性回归方程是
.若李某2017年1~7月份水费总支出为294.6元,试估计李某7月份的用水吨数.
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【题目】已知(m,n为常数),在
处的切线方程为
.
(Ⅰ)求的解析式并写出定义域;
(Ⅱ)若任意,使得对任意
上恒有
成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)若有两个不同的零点
,求证:
.
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