【题目】已知(m,n为常数),在处的切线方程为.
(Ⅰ)求的解析式并写出定义域;
(Ⅱ)若任意,使得对任意上恒有成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)若有两个不同的零点,求证: .
【答案】(Ⅰ) ,x∈(0,+∞);(Ⅱ) ;(Ⅲ)证明见解析.
【解析】试题分析:
(Ⅰ)由题意利用导函数研究切线方程可得,x∈(0,+∞);
(Ⅱ)结合(Ⅰ)的结论,f(x)在上的最小值为f(1)=1,故只需对恒成立,构造函数,结合新函数的性质可得a的取值范围为。
试题解析:
(Ⅰ),由条件可得及在处的切线方程为,得,所以,x∈(0,+∞)。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)在上单调递减,∴f(x)在上的最小值为f(1)=1,故只需t3﹣t2﹣2at+2≤1,即对恒成立,令,易得m(t)在单调递减,[1,2]上单调递增,而 ∴∴,即a的取值范围为。
(Ⅲ)∵,不妨设x1>x2>0,∴g(x1)=g(x2)=0,∴,两式相加相减后作商得: ,要证,即证明lnx1+lnx2>2,即证: ,需证明成立,令,于是要证明: ,构造函数, ,故在(1,+∞)上是增函数,∴,∴,故原不等式成立.
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【题目】在平面直角坐标系中,椭圆: 的离心率是,且直线: 被椭圆截得的弦长为.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若直线与圆: 相切:
(i)求圆的标准方程;
(ii)若直线过定点,与椭圆交于不同的两点、,与圆交于不同的两点、,求的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知过抛物线的焦点,斜率为的直线交抛物线于两点,且.
(1)求该抛物线的方程;
(2)已知抛物线上一点,过点作抛物线的两条弦和,且,判断直线是否过定点?并说明理由.
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【题目】某校举办“中国诗词大赛”活动,某班派出甲乙两名选手同时参加比赛. 大赛设有15个诗词填空题,其中“唐诗”、“宋词”和“毛泽东诗词”各5个.每位选手从三类诗词中各任选1个进行作答,3个全答对选手得3分,答对2个选手得2分,答对1个选手得1分,一个都没答对选手得0分. 已知“唐诗”、“宋词”和“毛泽东诗词”中甲能答对的题目个数依次为5,4,3,乙能答对的题目个数依此为4,5,4,假设每人各题答对与否互不影响,甲乙两人答对与否也互不影响.
求:(1)甲乙两人同时得到3分的概率;
(2)甲乙两人得分之和的分布列和数学期望.
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【题目】为了研究“教学方式”对教学质量的影响,某高中老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学(勤奋程度和自觉性都一样).如图茎叶图为甲、乙两班(每班均为20人)学生的数学期末考试成绩.
(1)现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学,求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率;
(2)学校规定:成绩不低于75分的为优秀,请填写列联表,并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.
甲班 | 乙班 | 合计 | |
优秀 | |||
不优秀 | |||
合计 |
参考公式与临界值表: .
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,已知曲线,将曲线上的点向左平移一个单位,然后纵坐标不变,横坐标轴伸长到原来的2倍,得到曲线,又已知直线(是参数),且直线与曲线交于两点.
(I)求曲线的直角坐标方程,并说明它是什么曲线;
(II)设定点,求.
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