Question

4．已知函数f（x）=a|x-1|-|x+1|．其中a＞1
（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）≥3的解集；
（Ⅱ）若函数y=f（x）的图象与直线y=1围成三角形的面积为$\frac{27}{8}$，求实数a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数f（x）的分段函数的形式，得到关于x的不等式组，解出即可；
（Ⅱ）由f（x）=1，求出交点的横坐标，求出三角形的底，根据三角形的面积求出a的值即可．

解答 解：（Ⅰ）由条件f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（1-a）x+a+1，x＜-1}\\{-（a+1）x+a-1，-1≤x≤1}\\{（a-1）x-a-1，x＞1}\end{array}\right.$，
a=2时，f（x）≥3?$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{-x+3≥3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤1}\\{-3x+1≥3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{x-3≥3}\end{array}\right.$
?x＜-1或-1≤x≤-$\frac{2}{3}$或x≥6，
故不等式f（x）≥3的解集是（-∞，-$\frac{2}{3}$]∪[6，+∞）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=1⇒x₁=$\frac{a-2}{a+1}$，x₂=$\frac{a+2}{a-1}$，
三角形的面积S=$\frac{1}{2}$•（$\frac{a+2}{a-1}$-$\frac{a-2}{a+1}$）•3=$\frac{9a}{{a}^{2}-1}$=$\frac{27}{8}$，
解得：a=3或a=-$\frac{1}{3}$，
∵a＞1
∴a=-$\frac{1}{3}$不符合题意
∴a=3
故所求a的值是3．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道中档题．