Question

已知数列{a_n}满足a₁=0，an+1=1+an(n∈N*)，数列{b_n}的前n项和为S_n，且数列

3

4

S₁+1，

3

4

S₂+1，

3

4

S₃+1，…

3

4

S_n+1…是首项和公比都为4的等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为T_n，求

1

T2

+

1

T3

+

1

T4

+…+

1

Tn

的值．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）易知{a_n}是等差数列，可求a_n，利用等比数列的通项公式可求得S_n，由S_n和b_n的关系可求b_n；
（Ⅱ）求出T_n，利用裂项相消法可求得结果；

解答： 解：（Ⅰ）由题意知：a_n+1-a_n=1，n∈N^*，满足a₁=0，
∴数列{a_n}是以0为首项，公差等于1的等差数列，
∴a_n=a₁+（n-1）d=n-1；
又由题意可得：

3

4

Sn+1=4×4n-1=4ⁿ，
∴S_n=

4

3

(4n-1)；
（1）当n=1时，b1=S1=

4

3

(4-1)=4，
（2）当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=

4

3

(4n-1)-

4

3

(4n-1-1)=4ⁿ，
检验n=1时也符合，∴bn=4n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：Tn=

n(a1+an)

2

=

(n-1)n

2

，
∴当n≥2时，

1

Tn

=

2

(n-1)n

=2(

1

n-1

-

1

n

)，
∴

1

T2

+

1

T3

+

1

T4

+…+

1

Tn

=2(1-

1

2

)+2（

1

2

-

1

3

）+…+2（

1

n-1

+

1

n

）=2-

2

n

．

点评：本题主要考查等差、等比数列的概念、通项公式、前n项和公式等基本知识，简单的数列求和方法等，属于中档题．