Question

17．已知f（x）=x²-2x+5，当x∈[t，t+1]时，求f（x）的最值．

Answer 1

分析 通过配方，得到函数的对称轴，通过讨论t的取值，确定区间[t，t+1]与对称轴的关系，从而确定函数的最值．

解答 解：将函数进行配方得f（x）=（x-1）²+4，对称轴为x=1，抛物线开口向上．
①若t≥1，函数f（x）在区间[t，t+1]单调递增，此时最大值为f（t+1）=t²+4，最小值为f（t）=t²-2t+5．
②若t+1≤1，即t≤0时，函数f（x）在区间[t，t+1]单调递减，此时最小值为f（t+1）=t²+4，最大值为f（t）=t²-2t+5．
③若t＜1＜t+1，即0＜t＜1时，函数f（x）在区间[t，t+1]不单调，此时最小值为f（1）=-4．
区间[t，t+1]的中点为t+0.5，当t+0.5≤1，即0＜t≤0.5时，函数的最大值为f（t）=t²-2t+5．
当t+0.5＞1，即0.5＜t＜1时，函数的最大值为f（t+1）=t²+4．

点评 本题考查了二次函数的图象和性质．对于闭区间上二次函数的最大值和最小值要利用对称轴和给定区间之间的关系进行判断，属于中档题．