精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
(2012•上饶一模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若(a2-1)3+2012(a2-1)=1(a2011-1)3+2012(a2011-1)=-1,则下列四个命题中真命题的序号为(  )
①S2011=2011;②S2012=2012;③a2011<a2;④S2011<S2
分析:根据等式,构造函数,求导函数,可知函数是单调递增的,再利用函数的单调性即等差数列的求和公式,即可得到结论.
解答:解:根据(a2-1)3+2012(a2-1)=1,(a2011-1)3+2012(a2011-1)=-1,
构造函数f(x)=x3+x,由于函数f(x)=x3+x是奇函数,由条件有f(a2-1)=1,f(a2011-1)=-1,
求导函数可得:f′(x)=3x2+1>0,所以函数f(x)=x3+x是单调递增的,而f(1)=2>1=f(a2-1),即a2-1<1,解得a2<2
∵f(a2-1)=1,f(a2011-1)=-1,
∴a2-1>a2011-1,a2-1=-(a2011-1)
,∴a2>0>a2011,a2+a2011=2,
∴S2012=
a1+a2012
2
×2012=2012;
又S2011=S2012-a2012=2012-(2-a2+d)=2010+a1>a1+a2=S2
综上知,S2012=2012; a2011<a2; 
故真命题为:②③
故选C.
点评:本题考查函数与方程的思想,综合考查函数的奇偶性、单调性、等差数列的通项公式、等差数列性质、等差数列求和公式以及函数与方程的思想,转化与化归思想,属于难题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•上饶一模)设点P是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,I为△PF1F2的内心,若S△IPF1+S△IPF2=2S△IF1F2,则该椭圆的离心率是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•上饶一模)关于x的方程:(x2-1)2-|x2-1|+k=0,给出下列四个命题,其中真命题的个数有(  )
(1)存在实数k,使得方程恰有2个不同的实根
(2)存在实数k,使得方程恰有4个不同的实根
(3)存在实数k,使得方程恰有5个不同的实根
(4)存在实数k,使得方程恰有8个不同的实根.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•上饶一模)实数x,y满足不等式组
y≥0
x-y≥0
2x-y-2≤0
,则ω=
y-1
x+1
的取值范围是
[-1,
1
3
]
[-1,
1
3
]

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•上饶一模)f(x)=sin
π
3
x-
3
cos
π
3
x
,则f(1)+f(2)+…+f(2012)=
3
3

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•上饶一模)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=a,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.
(Ⅰ)证明:PA∥平面EDB;
(Ⅱ)求三棱锥P-DEF的体积.

查看答案和解析>>

同步练习册答案