Question

设数列{a_n}的各项都是正数，且对任意n∈N^*都有a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²+2S_n，其中S_n为数{a_n}的前n项和，则a_n=

 

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Answer 1

考点：数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：利用n=1求出a₁，利用a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²+2S_n，a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n-1³=S_n-1²+2S_n-1，做差推出a_n-a_n-1=1证明是等差数列．

解答： 解：在已知式中，当n=1时，a₁³=S₁²+2S₁，
∵a₁＞0，∴a₁=2．
当n≥2时，a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²+2S_n①a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n-1³=S_n-1²+2S_n-1②
①-②得，a_n³=S_n²-S_n-1²+2（S_n-S_n-1）=（S_n-S_n-1）（S_n+S_n-1+2）
∵a_n＞0，∴a_n²=S_n+S_n-1+2=2S_n-a_n+2③
∵a₁=2适合上式，
当n≥2时，a_n-1²=2S_n-1-a_n-1+2④
③-④得：a_n²-a_n-1²=2（S_n-S_n-1）-a_n+a_n-1=2a_n-a_n+a_n-1=a_n+a_n-1
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=1
∴数列{a_n}是等差数列，首项为1，公差为1，可得a_n=n+1．
故答案为：n+1．

点评：在解答的过程当中充分体现了数列通项与前n项和的知识，难度中等．