Question

5．已知由实数构成的集合A满足条件：若a∈A，a≠1，则$\frac{1}{1-a}∈A$．
（1）若2∈A，则A中必还有另外两个元素，求出这两个元素；
（2）求证：若a∈A，a≠1，则1-$\frac{1}{a}$∈A；
（3）求证：A不可能是单元素集．

Answer 1

分析 （1）根据条件，由2∈A便可得出$\frac{1}{1-2}∈A$，进而$\frac{1}{1-\frac{1}{1-2}}∈A$，从而可以求出集合A的另外的两个元素；
（2）根据条件，a∈A得出$\frac{1}{1-a}∈A$，同样得出$\frac{1}{1-\frac{1}{1-a}}∈A$，化简后即可得出结论成立；
（3）可考虑反证法，假设A为单元素集，从而得出a=$\frac{1}{1-a}$，只需说明该方程无解即可．

解答 解：（1）根据条件，若2∈A，则$\frac{1}{1-2}=-1∈A$，$\frac{1}{1-（-1）}=\frac{1}{2}∈A$；
∴这两个元素为$-1，\frac{1}{2}$；
（2）证明：若a∈A，a≠1，则$\frac{1}{1-a}∈A$；
∴$\frac{1}{1-\frac{1}{1-a}}=1-\frac{1}{a}∈A$；
（3）证明：若A为单元素集，则a=$\frac{1}{1-a}$；
整理成，a²-a+1=0；
△=1-4＜0；
∴该方程无解；
即A不可能是单元素集．

点评 考查元素与集合的关系，理解集合A所满足的条件，反证法证明问题的方法和过程，以及单元素集的定义，一元二次方程实根的判断．