Question

16．直线y=kx+2k与圆（x-1）²+y²=4相交于M，N两点，若|MN|≤2，则k的取值范围是（　　）

• A． [-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]
• B． （-∞，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$]∪[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）
• C． [-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$]∪[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$]
• D． （-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$]∪[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）

Answer 1

分析 由题意画出图形，把|MN|≤2转化为圆心C到直线y=kx+2k的距离d满足$\sqrt{3}≤d＜2$，再由点到直线的距离列不等式组得答案．

解答 解：如图，
圆（x-1）²+y²=4的圆心坐标为C（1，0），半径为2，
当MN=2时，圆心C到直线y=kx+2k的距离d=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}=\sqrt{3}$，
∵|MN|≤2，∴圆心C到直线y=kx+2k的距离d满足$\sqrt{3}≤d＜2$，
即$\sqrt{3}≤\frac{|k×1-1×0+2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}＜2$，解得-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$＜k≤-$\frac{\sqrt{2}}{2}$
或$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤k＜$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
∴k的取值范围是（-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$]∪[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）．
故选：D．

点评 本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查点到直线的距离公式，训练了不等式的解法，是中档题．