Question

1．已知a为实数，函数f（x）=alnx+x²-4x
（1）当a=1时，求函数f（x）在x=1处的切线方程；
（2）设g（x）=（a-2）x，若?x∈[$\frac{1}{e}$，e]，使得f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围．
（3）定义：若函数m（x）的图象上存在两点A、B，设线段AB的中点为P（x₀，y₀），若m（x）在点Q（x₀，m（x₀））处的切线l与直线AB平行或重合，则函数m（x）是“中值平均函数”，切线l叫做函数m（x）的“中值平均切线”．试判断函数f（x）是否是“中值平均函数”？若是，判断函数f（x）的“中值平均切线”的条数；若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据导数的几何意义解出切点坐标和斜率，带入直线的点斜式方程；
（2）由题意可得（x-lnx）a≤x²-2x，记F（x）=x-lnx，求出导数，求得最小值1，运用参数分离可得a≤$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$，求出导数，求得单调区间、极值和最值，即可得到a的范围；
（3）求出f（x）的导数，假设f（x）是“中值平均函数”，则存在A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））（0＜x₁＜x₂），求出切线的斜率，运用两点的斜率公式，可得$\frac{2a}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，讨论a是否为0，构造函数求出导数，判断单调性，结合新定义，即可得到所求“中值平均切线”的条数．

解答 解：（1）解：（1）a=1时，f（x）=lnx+x²-4x，f′（x）=$\frac{1}{x}$+2x-4．
∴f（x）在x=1处的切线斜率k=f′（1）=-1，
∵f（1）=-3，
∴f（x）在x=1处的切线方程是y+3=-（x-1），即x+y+2=0，
∴函数在x=1处的切线方程为：x+y+2=0，
（2）由f（x）≥g（x），得（x-lnx）a≤x²-2x，
记F（x）=x-lnx（x＞0），F′（x）=$\frac{x-1}{x}$，（x＞0），
当0＜x＜1时，F′（x）＜0，F（x）递减，
当x＞1时，F′（x）＞0，F（x）递增；
∴F（x）≥F（1）=1＞0，
∴a≤$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$，记G（x）=$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$，x∈[$\frac{1}{e}$，e]，
∴G′（x）=$\frac{（x-1）（x-2lnx+2）}{（x-lnx）^{2}}$，
∴x-2lnx+2=2（1-lnx）+x≥x＞0，
∴x∈[$\frac{1}{e}$，e]时，G′（x）＜0，G（x）递减；
x∈（1，e]时，G′（x）＞0，G（x）递增；
∴G（x）_min=G（1）=-1，∴a≤G（x）_min=-1，
故实数a的取值范围为（-∞，-1]；
（3）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=$\frac{a}{x}$+2x-4=$\frac{2{x}^{2}-4x+a}{x}$
若函数f（x）是“中值平均函数”，
则存在A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））（0＜x₁＜x₂）
使得f′（x₀）=$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$，即$\frac{2a}{{x}_{1}+{x}_{2}}$+x₁+x₂-4=$\frac{a（ln{x}_{2}-ln{x}_{1}）+{x}_{2}^{2}-{x}_{1}^{2}-4（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$
∴$\frac{2a}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{a（ln{x}_{2}-{lnx}_{1}）}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（※）
①当a=0时，（※）对任意的0＜x₁＜x₂都成立，
∴函数f（x）是“中值平均函数”，且函数f（x）的“中值平均切线”有无数条；
②当a≠0时，有$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$，
设t=$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，则方程lnt=$\frac{2（t-1）}{t+1}$在区间（1，+∞）上有解，
记函数h（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$，t＞1，
则h′（t）=$\frac{1}{t}$-$\frac{4}{（t+1）^{2}}$=$\frac{（t-1）^{2}}{t（t+1）^{2}}$＞0，
∴函数h（t）在区间（1，+∞）递增，
∵h（1）=0，
∴当t＞1时，h（t）＞h（1）=0，
即方程lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$在区间（1，+∞）上无解，即函数f（x）不是“中值平均函数”；
综上，当a=0时，f（x）是“中值平均函数”，函数f（x）的“中值平均切线”有无数条；
当a≠0时，f（x）不是“中值平均函数”．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分离参数，考查新定义的理解和运用，注意运用分类讨论的思想方法，考查构造函数的方法，属于中档题．