Question

13．已知抛物线x²=4y的焦点为F，准线为l，经过l上任意一点P作抛物线x²=4y的两条切线，切点分别为A、B．
（1）求证：以AB为直径的圆经过点P；
（2）比较$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{FB}$与 ${\overrightarrow{PF}^2}$的大小．

Answer 1

分析 （1）l的方程为y=-1．设P（a，-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），通过${y_1}=\frac{1}{4}{x_1}^2，{y_2}=\frac{1}{4}{x_2}^2$．求出导数，得到${k_{PA}}=\frac{1}{2}{x_1}$，结合${k_{PA}}=\frac{{{y_1}+1}}{{{x_1}-a}}$，推出${x_1}^2-2a{x_1}-4=0$．说明x₁，x₂为方程x²-2ax-4=0的根．利用x₁+x₂，x₁x₂，化简$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=（{{x_1}-a，{y_1}+1}）•（{{x_2}-a，{y_2}+1}）$，推出PA⊥PB，得到以AB为直径的圆经过点P．
（2）求出F（0，1）．利用（1）计算$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{FB}$，求出 ${\overrightarrow{PF}^2}$的值，即可得到结果．

解答 解：（1）证明：根据已知得l的方程为y=-1．
设P（a，-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且${y_1}=\frac{1}{4}{x_1}^2，{y_2}=\frac{1}{4}{x_2}^2$．
由$y=\frac{1}{4}{x^2}$得$y'=\frac{x}{2}$，从而${k_{PA}}=\frac{1}{2}{x_1}$，∵${k_{PA}}=\frac{{{y_1}+1}}{{{x_1}-a}}$，
∴$\frac{1}{2}{x_1}=\frac{{{y_1}+1}}{{{x_1}-a}}，{y_1}=\frac{1}{4}{x_1}^2$，
化简得${x_1}^2-2a{x_1}-4=0$．同理可得$x_2^2-2a{x_2}-4=0$．
∴x₁，x₂为方程x²-2ax-4=0的根．∴x₁+x₂=2a，x₁x₂=-4．
∵$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=（{{x_1}-a，{y_1}+1}）•（{{x_2}-a，{y_2}+1}）$=（x₁-a）（x₂-a）+（y₁+1）（y₂+1）
=${x_1}{x_2}-a（{{x_1}+{x_2}}）+{a^2}+\frac{{{{（{{x_1}{x_2}}）}^2}}}{16}+\frac{x_1^2}{4}+\frac{x_2^2}{4}+1=-4-2{a^2}+{a^2}+1+\frac{1}{4}[{4{a^2}+8}]+1=0$，
∴$\overrightarrow{PA}⊥\overrightarrow{PB}$，即PA⊥PB，
∴以AB为直径的圆经过点P．
（2）根据已知得F（0，1）．
∵$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{FB}$=（-x₁，1-y₁）•（x₂，y₂-1）=-x₁x₂-y₁y₂+（y₁+y₂）-1
=$-{x}_{1}{x}_{2}-\frac{（{x}_{1}{x}_{2}）^{2}}{16}+\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-2{{x}_{1}x}_{2}}{4}$-1
又由（1）知：x₁+x₂=2a，x₁x₂=-4，
∴$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{FB}=4+{a^2}$，
∵${\overrightarrow{PF}^2}={a^2}+4$，
∴$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{FB}={\overrightarrow{PF}^2}$．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，向量的数量积，抛物线与函数的导数的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．