Question

4．已知关于x的不等式|2x-m|＜1的整数解有且仅有一个为2，其中m∈Z．
（1）求m的值；
（2）设ab=m，a＞b＞0，证明：$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{a-b}$≥4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）由不等式|2x-m|≤1，可得 $\frac{m-1}{2}$＜x＜$\frac{m+1}{2}$，再由不等式仅有一个整数解2，求得m的值．
（2）变形，利用基本不等式，即可证明．

解答 （1）解：|2x-m|＜1，即m-1＜2x＜m+1，解得$\frac{m-1}{2}$＜x＜$\frac{m+1}{2}$，
因为不等式的整数解为2，所以得$\frac{m-1}{2}$＜2＜$\frac{m+1}{2}$，解得3＜m＜5，
因为m∈Z，所以m=4．…（5分）
（2）证明：由题意可知ab=4，a＞b＞0，所以a-b＞0，
因为$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{a-b}=\frac{{{{（a-b）}^2}+2ab}}{a-b}=（a-b）+\frac{8}{a-b}≥2\sqrt{（a-b）×\frac{8}{a-b}}=4\sqrt{2}$，
（当且仅当$a-b=\frac{8}{a-b}$，即$a=\sqrt{6}+\sqrt{2}，b=\sqrt{6}-\sqrt{2}$时，取最小值）．
所以$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{a-b}≥4\sqrt{2}$．-----------------（10分）

点评 此题考查绝对值不等式的性质及其解法，考查基本不等式的运用，解题的关键是去掉绝对值，属于中档题．