Question

14．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E、F分别是PC、PD的中点，PA=$\sqrt{3}$AD．
（1）在线段BC上求作一点G，使得平面EFG∥平面PAB；
（2）在（1）的条件下，求平面EFG与平面PCD所成的二面角的大小．

Answer 1

分析 （1）取BC中点G，得到EG∥PB，EF∥DC，EF∥AB，从而得到在线段BC上取点G，使得平面EFG∥平面PAB．
（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面EFG与平面PCD所成的二面角的大小为45°．

解答 解：（1）取BC中点G，则平面EFG∥平面PAB．
证明如下：
∵E、F分别是PC、PD的中点，G是BC中点，
∴EG∥PB，EF∥DC，
∵底面ABcD是矩形，∴AB∥CD，∴EF∥AB，
∵AB∩PB=B，EF∩EG=E，AB、PB?平面PAB，EF、EG?平面EFG，
∴在线段BC上取点G，使得平面EFG∥平面PAB．
（2）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
∵平面EFG∥平面PAB，∴平面EFG的法向量即平面PAB的法向量，即$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
设PA=$\sqrt{3}$AD=$\sqrt{3}$，AB=t，
则P（0，0，$\sqrt{3}$），C（t，$\sqrt{3}$，0），D（0，$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{PC}$=（t，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PD}$=（0，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$），
设平面PCD的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=ta+\sqrt{3}b-\sqrt{3}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}=\sqrt{3}b-\sqrt{3}c=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，1），
设平面EFG与平面PCD所成的二面角的大小为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴θ=45°，
∴平面EFG与平面PCD所成的二面角的大小为45°．

点评 本题考查面面平行的证明中，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．