Question

已知函数f（x）=e^x+ax
（1）当-e＜a≤0时，证明：对于任意x∈R，f（x）＞0成立；
（2）当a=-1时，是否存在x₀∈（0，+∞），使曲线C：g（x）=e^xlnx-f（x）在点x=x₀处的切线斜率与f（x）在R上的最小值相等？若存在，求符合条件的x₀的个数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）当a=0时，f（x）=e^x＞0成立；当-e＜a＜0时，f′（x）=e^x+a＞0时，利用导数性质得f[ln（-a）]＞0成立．由此能证明当-e＜a≤0时，对于任意x∈R，f（x）＞0成立．
（2）f（x）=e^x-x，f′（x）=e^x-1，从而f（x）在x=0处取得最小值f（0）=1，g（x）=e^xlnx-e^x+x，构造函数令h（x）=

1

x

+1=1，利用导数性质求出只有一个解x₀=1．

解答： （1）证明：当a=0时，f（x）=e^x＞0成立；
当-e＜a＜0时，f′（x）=e^x+a＞0时，
x＞ln（-a）=-a+aln（-a）=-a[1-ln（-a）]，
∵-a＞0，0＜ln（-a）＜1，
∴f[ln（-a）]＞0成立．
综上，当-e＜a≤0时，对于任意x∈R，f（x）＞0成立．
（2）解：f（x）=e^x-x，则f′（x）=e^x-1，
∴f（x）在x=0处取得最小值f（0）=1，
g（x）=e^xlnx-e^x+x，k=g′(x)=exlnx+

ex

x

-ex+1=1，
∴lnx+

1

x

-1=0，
令h（x）=

1

x

+1=1，h′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

，
∴h（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增，
∵h（1）=0，∴只有一个解x₀=1．

点评：本题考查不等式的证明，考查满足条件的解的判断与求法，解题时要注意构造法和导数性质的合理运用．