Question

【题目】已知椭圆 的右焦点为F，过椭圆C中心的弦PQ长为2，且∠PFQ=90°，△PQF的面积为1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设A1、A2分别为椭圆C的左、右顶点，S为直线 上一动点，直线A1S交椭圆C于点M，直线A2S交椭圆于点N，设S1、S2分别为△A1SA2、△MSN的面积，求 的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）弦PQ过椭圆中心，且∠PFQ=90°，则c=丨OF丨= 丨PQ丨=1，
不妨设P（x0 ， y0）（x0 ， y0＞0），
∴，△PQF的面积= ×丨OF丨×2y0=y0=1，则x0=1，b=1，
a2=b2+c2=2，
∴椭圆方程为 +y2=1；
（Ⅱ）设S（2 ，t），直线A1S：x= y﹣ ，则 ，
整理（ +2）y2﹣ y=0，解得y1= ，
同理，设直线A2S：x= y+ ，
得（ +2）y2+ y=0，解得y1=﹣ ，
则 =丨 × 丨
≤ × = ，
当且仅当t2+9=3t2+3，即t=± 时取“=”
【解析】（Ⅰ）由c=丨OF丨= 丨PQ丨=1，根据三角形的面积公式，即可求得b的值，a2=b2+c2=2，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）设S点坐标，求直线A1S及A2S代入椭圆方程，求得M和N点坐标，根据三角形的面积公式及基本不等式的性质，即可求得 的最大值．