Question

7．若x，y∈R⁺，且x+y=5，则$\sqrt{x+1}+\sqrt{y+3}$的最大值是（　　）

• A． $3\sqrt{2}$
• B． $\frac{9}{2}$
• C． 9
• D． $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 方法一：由x，y∈R⁺，则满足$\left\{\begin{array}{l}{x+1≥0}\\{y+\sqrt{3}≥0}\end{array}\right.$，根据柯西不等式可得$\sqrt{x+1}+\sqrt{y+3}$≤$\sqrt{2}$•$\sqrt{x+1+y+3}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{9}$=3$\sqrt{2}$，当且仅当$\sqrt{x+1}$=$\sqrt{y+3}$，即x=$\frac{7}{2}$，y=$\frac{3}{2}$时等号成立，即可求得$\sqrt{x+1}+\sqrt{y+3}$的最大值；
方法二：x，y∈R⁺，且x+y=5，y+3=8-x，Z=$\sqrt{x+1}+\sqrt{y+3}$=$\sqrt{x+1}$+$\sqrt{8-x}$，（$\sqrt{x+1}$）²+（$\sqrt{8-x}$）²=9，设$\sqrt{x+1}$=3sinα，$\sqrt{8-x}$=3cosα，（0≤α≤$\frac{π}{2}$），根据辅助角公式及正弦函数图象及最值，即可求得$\sqrt{x+1}+\sqrt{y+3}$的最大值．

解答 解：方法一：x，y∈R⁺，则满足$\left\{\begin{array}{l}{x+1≥0}\\{y+\sqrt{3}≥0}\end{array}\right.$，
根据柯西不等式可得$\sqrt{x+1}+\sqrt{y+3}$≤$\sqrt{2}$•$\sqrt{x+1+y+3}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{9}$=3$\sqrt{2}$，
当且仅当$\sqrt{x+1}$=$\sqrt{y+3}$，即x=$\frac{7}{2}$，y=$\frac{3}{2}$时等号成立．
∴则$\sqrt{x+1}+\sqrt{y+3}$的最大值3$\sqrt{2}$，
故选A．
方法二：x，y∈R⁺，且x+y=5，
故y=5-x，
y+3=8-x，
则Z=$\sqrt{x+1}+\sqrt{y+3}$=$\sqrt{x+1}$+$\sqrt{8-x}$，
∵（$\sqrt{x+1}$）²+（$\sqrt{8-x}$）²=x+1+8-x=9，
∴设$\sqrt{x+1}$=3sinα，$\sqrt{8-x}$=3cosα，（0≤α≤$\frac{π}{2}$），
则Z=$\sqrt{x+1}+\sqrt{y+3}$=$\sqrt{x+1}$+$\sqrt{8-x}$=3sinα+3cosα=3$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），
故当α+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，即α=$\frac{π}{4}$时，Z取最大值3$\sqrt{2}$，
则$\sqrt{x+1}+\sqrt{y+3}$的最大值3$\sqrt{2}$，
故选A．

点评 本题考查柯西不等式的应用，考查正弦函数的图象及性质，考查辅助角公式的应用，考查计算能力，属于中档题．