Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥平面ABC，AB=AC，D，E分别为BC，BB₁的中点，四边形B₁BCC₁是正方形．
（1）求证：A₁B∥平面AC₁D；
（2）求证：CE⊥平面AC₁D．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）设A₁C∩AC₁=0，根据O、D 分别为CA₁、CB的中点，可得OD∥A₁B．再利用直线和平面平行的判定定理证得A₁B∥平面AC₁D．
（2）由题意可得三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，利用平面和平面垂直的性质可得AD⊥平面BCC₁B₁，可得AD⊥CE．再根据B₁BCC₁是正方形，D、E 分别为BC、BB₁的中点，证得C₁D⊥CE．从而利用直线和平面垂直的判定定理证得CE⊥平面AC₁D．

解答： （1）证明：设A₁C∩AC₁=0，则由三棱柱的性质可得O、D 分别为CA₁、CB的中点，∴OD∥A₁B．
∵A₁B?平面AC₁D，OD?平面AC₁D，∴A₁B∥平面AC₁D．
（2）证明：由BB₁⊥平面ABC，可得三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，∵AB=AC，∴AD⊥BC．
由平面ABC⊥平面BCC₁B₁，AD?平面BCC₁B₁，平面ABC∩平面BCC₁B₁=BC，可得AD⊥平面BCC₁B₁．
又CE?平面BCC₁B₁，故有AD⊥CE．
∵B₁BCC₁是正方形，D、E 分别为BC、BB₁的中点，故有C₁D⊥CE．
这样，CE垂直于平面AC₁D内的两条相交直线AD、C₁E，∴CE⊥平面AC₁D．

点评：本题主要考查直线和平面平行的判定定理、直线和平面垂直的判定定理的应用，平面和平面垂直的性质，属于基础题．