【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AC⊥AD.底面ABCD为梯形,AB∥DC,AB⊥BC,PA=AB=BC=3,点E在棱PB上,且PE=2EB. (Ⅰ)求证:平面PAB⊥平面PCB;
(Ⅱ)求证:PD∥平面EAC;
(Ⅲ)求平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)证明:∵PA⊥底面ABCD,BC底面ABCD, ∴PA⊥BC.
又AB⊥BC,PA∩AB=A,
∴BC⊥平面PAB.
又BC平面PCB,∴平面PAB⊥平面PCB.
(Ⅱ)证明:∵PC⊥AD,
∴在梯形ABCD中,由AB⊥BC,AB=BC,得∠BAC= ,
∴∠DCA=∠BAC= ,
又AC⊥AD,
故△DAC为等腰直角三角形,
∴DC= AC=
(
AB)=2AB.
连接BD,交AC于点M,则 =
=2.
连接EM,在△BPD中, =
=2,∴PD∥EM,
又PD/平面EAC,EM平面EAC,
∴PD∥平面EAC.
(Ⅲ)解:以A为坐标原点,AB,AP所在直线分别为y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.则A(0,0,0),B(0,3,0),C(3,3,0),P(0,0,3),E(0,2,1)
设 =(x,y,1)为平面AEC的一个法向量,则
⊥
,
⊥
,
∵ =(3,3,0),
=(0,2,1),
∴ 解得x=
,y=﹣
,
∴ =(
,﹣
,1).
设 =(x′,y′,1)为平面PBC的一个法向量,则
⊥
,
⊥
,
又 =(3,0,0),
=(0,﹣3,3),
∴ ,
解得x′=0,y′=1,
∴ =(0,1,1).
(取PB中点为F,连接AF可证 为平面PBC的一个法向量.)
∵cos< ,
>=
=
,
∴平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值为
注:以其他方式建系的参照给分.
【解析】(Ⅰ)根据PA⊥底面ABCD,得到PA⊥BC,结合AB⊥BC,可得BC⊥平面PAB.最后根据面面垂直的判定定理,可证出平面PAB⊥平面PCB.(Ⅱ)利用线面垂直的性质,可得在直角梯形ABCD中AC⊥AD,根据题中数据结合平行线分线段成比例,算出DC=2AB,从而得到△BPD中,PE:EB=DM:MB=2,所以PD∥EM,由线面平行的判定定理可得PD∥平面EAC.(Ⅲ)建立空间直角坐标系,求出平面AEC、平面PBC的一个法向量,利用向量的夹角公式,即可求平面AEC和平面PBC所成锐二面角的余弦值.
【考点精析】认真审题,首先需要了解直线与平面平行的判定(平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行),还要掌握平面与平面垂直的判定(一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直)的相关知识才是答题的关键.
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【题目】已知函数,
.
(1)若函数在区间
上存在零点,求实数
的取值范围;
(2)当时,若对任意的
,总存在
使
成立,求实数
的取值范围;
(3)若的值域为区间
,是否存在常数
,使区间
的长度为
?若存在,求出
的值,若不存在,请说明理由.(柱:区间
的长度为
)
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【题目】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的件产品作为样本,称出它们的重量(单位:克),重量的分组区间为
,
,…,
,由此得到样本的频率分布方图,如图所示.
(1)在上述抽取的件产品中任取
件,设
为取到重量超过
克的产品件数,求
的概率;
(2)从上述件产品中任取
件,设
为取到重量超过
克的产品件数,求
的分布列与期望.
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【题目】国际奥委会于2017年9月15日在秘鲁利马召开130次会议决定2024年第33届奥运会举办地,目前德国汉堡,美国波士顿等申办城市因市民担心赛事费用超支而相继退出,某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度,选了100位居民调查结果统计如下:
支持 | 不支持 | 合计 | |
年龄不大于50岁 | _______ | _______ | 80 |
年龄大于50岁 | 10 | _______ | _______ |
合计 | _______ | 70 | 100 |
(1)根据已知数据,把表格填写完整;
(2)是否有95%的把握认为年龄与支持申办奥运有关?
附表:,
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.814 | 5.024 | 6.635 |
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【题目】某镇在政府“精准扶贫”的政策指引下,充分利用自身资源,大力发展养殖业,以增加收入,政府计划共投入72万元,全部用于甲、乙两个合作社,每个合作社至少要投入15万元,其中甲合作社养鱼,乙合作社养鸡,在对市场进行调研分析发现养鱼的收益、养鸡的收益
与投入
(单位:万元)满足
.设甲合作社的投入为
(单位:万元).两个合作社的总收益为
(单位:万元).
(1)当甲合作社的投入为25万元时,求两个合作社的总收益;
(2)试问如何安排甲、乙两个合作的投入,才能使总收益最大?
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【题目】已知函数g(x)= +lnx在[1,+∞)上为增函数,且θ∈(0,π),f(x)=mx﹣
﹣lnx(m∈R). (Ⅰ)求θ的值;
(Ⅱ)若f(x)﹣g(x)在[1,+∞)上为单调函数,求m的取值范围;
(Ⅲ)设h(x)= ,若在[1,e]上至少存在一个x0 , 使得f(x0)﹣g(x0)>h(x0)成立,求m的取值范围.
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【题目】某地空气中出现污染,须喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算,每喷洒1个单位的去污剂,空气中释放的浓度y(单位:毫克/立方米)随着时间x(单位:天)变化的函数关系式近似为,若多次喷洒,则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知,当空气中去污剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时,它才能起到去污作用.
(Ⅰ)若一次喷洒4个单位的去污剂,则去污时间可达几天?
(Ⅱ)若第一次喷洒2个单位的去污剂,6天后再喷洒
个单位的去污剂,要使接下来的4天中能够持续有效去污,试求
的最小值.
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