Question

已知f（1-cosx）=sin²x，求函数f（x）的表达式，并求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：设t=1-cos x，由-1≤cosx≤1，可得 0≤t≤2，f（t）=sin² x=-（1-t）²+1，数形结合求出f（x）=-（1-x）²+1的值域．

解答：解：设t=1-cos x，∵-1≤cosx≤1，∴0≤t≤2，
f（t）=sin² x=1-cos² x=1-（1-t）² =-（1-t）²+1，
f（x）=-（1-x）²+1，顶点 O′（1，1），如图所示：
∴函数值域f（x）是：[0，1]．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，在闭区间上求二次函数的值域，注意t的范围，这是解题的易错点．