Question

17．已知二次函数f（x）=x²-ax+a（x∈R）同时满足：①不等式f（x）≤0的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立，设数列{a_n}的前n项和为S_n=f（n）．
（1）求f（x）的表达式；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设b_n=（$\sqrt{3}$）${\;}^{{a}_{n}+5}$，c_n=$\frac{6{{b}_{n}}^{2}+{b}_{n+1}-{b}_{n}}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$，{c_n}前n项和为T_n，T_n＞n+m（n∈N^*，n≥2）恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据不等式的解集有一个元素，写出判别式要满足的条件，求出a的值，把所求的两个数值代入解析式进行检验，看哪一个符合单调性，求出a的值；
（2）根据数列{a_n}的前n项和S_n=f（n），写出前n项和的表示式，根据由前n项和求通项的方法写出数列的通项，验证首项是否符合所求的通项，得到是一个分段形式；
（3）构造出两个新数列，要求数列{C_n}的前n项和，把数列分成三部分来求，整理出最简形式，根据T_n-n＞m对（n∈N*，n≥2）恒成立可转化为：m＜16+$\frac{1}{27}$+n-$\frac{1}{{3}^{n+1}}$，对n∈N*，n≥2恒成立，根据16+$\frac{1}{27}$+n-$\frac{1}{{3}^{n+1}}$是关于n的增函数，得到结论．

解答 解：（1）∵f（x）≤0的解集有且只有一个元素，
∴△=a²-4a=0⇒a=0或a=4，
当a=4时，函数f（x）=x²-4x+4在（0，2）上递减，
故存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立，
当a=0时，函数f（x）=x²在（0，+∞）上递增，
故不存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立，
综上，得a=4，f（x）=x²-4x+4；
（2）由（1）可知S_n=n²-4n+4，当n=1时，a₁=s₁=1，
当n≥2时，a_n=s_n-s_n-1=（n²-4n+4）-[（n-1）²-4（n-1）+4]=2n-5．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{2n-5，n≥2}\end{array}\right.$．
（3）∵b_n=（$\sqrt{3}$）${\;}^{{a}_{n}+5}$=$\left\{\begin{array}{l}{27，n=1}\\{{3}^{n}，n≥2}\end{array}\right.$，
∴b₁=27，c₁=18-$\frac{2}{27}$，
n≥2时，c_n=2+$\frac{1}{{3}^{n}}$-$\frac{1}{{3}^{n+1}}$，
T_n=c₁+c₂+…+c_n=18-$\frac{2}{27}$+2（n-1）+（$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{27}$+$\frac{1}{27}$-$\frac{1}{81}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$-$\frac{1}{{3}^{n+1}}$）
=18-$\frac{2}{27}$+2（n-1）+$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{{3}^{n+1}}$=16+$\frac{1}{27}$+2n-$\frac{1}{{3}^{n+1}}$，
T_n-n＞m对（n∈N*，n≥2）恒成立
可转化为：m＜16+$\frac{1}{27}$+n-$\frac{1}{{3}^{n+1}}$，对n∈N*，n≥2恒成立，
因为16+$\frac{1}{27}$+n-$\frac{1}{{3}^{n+1}}$是关于n的增函数，
所以当n=2时，其取得最小值18，
所以m＜18．

点评 本题考查数列与函数的综合，本题解题的关键是根据所给的条件构造新数列，求新数列的和，这里利用数列的求和的基本方法即分组，注意本题中对于特殊项的验证．