Question

已知点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是圆C₁：（x-1）²+y²=4上的两个动点，O是坐标原点，且满足OA⊥OB，以线段AB为直径作圆C₂．
（1）若点A的坐标为（3，0），求点B坐标；
（2）求圆心C₂的轨迹方程；
（3）求圆C₂的最大面积．

Answer 1

考点：轨迹方程,圆的标准方程

专题：直线与圆

分析：（1）根据点A的坐标为（3，0），确定点B在y轴上，将x=0代入圆的方程，即可确定点B坐标；
（2）设圆心C₂的坐标，根据直角三角形斜边中线是斜边一半，建立关系|OC₂|=

1

2

|AB|，代入坐标可求出轨迹方程；
（3）根据圆C₂面积最大，即|AB|最大，可知|OC₂|最大时，圆C₂面积最大．求出圆心C₂的轨迹上到圆点的最大距离即可求出圆C₂的最大面积．

解答： 解：（1）∵点A的坐标为（3，0）在x轴上，且OA⊥OB，
∴点B在y轴上，
将x=0代入：（x-1）²+y²=4得，
y=±

3

．
∴点B坐标为（0，

3

）或（0，-

3

）．
（2）设圆心C₂的坐标为（x，y），
∵圆C₁：（x-1）²+y²=4，
∴圆心C₁（1，0），半径r=2，
∵圆心到直线AB的距离为：d=

(x-1)2+y2

，
∴|AB|=2

r2-d2

=2

4-(x-1)2-y2

，
又∵△OAB是直角三角形，C₂是AB的中点，
∴|OC₂|=

1

2

|AB|，
∴

x2+y2

=

4-(x-1)2-y2

，
∴圆心C₂的轨迹方程(x-

1

2

)2+y2=

7

4

．
（3）由（2）可知，圆心C₂的轨迹方程是以(

1

2

，0)为圆心，

7

2

为半径的圆，
∵圆C₂面积最大，即|AB|最大，
∴|OC₂|最大时，圆C₂面积最大．
∵|OC₂|_max=

1

2

+

7

2

，
∴Smax=π|OC2|2=

4+ 7

2

π．

点评：本题考查直线三角形的性质，圆的性质，圆的方程，坐标法求轨迹方程和最值问题处理等知识的综合应用，属于中档题．