Question

已知函数的定义域是，是的导函数，且在
内恒成立．
求函数的单调区间；
若，求的取值范围；
(3) 设是的零点，，求证：.

Answer 1

(1);(2) ;(3)详见解析.

试题分析：（1）利用求导的思路求解函数的单调区间，从分借助；（2）首先对求导，然后借助已知的不等式恒成立进行转化为在内恒成立，进而采用构造函数的技巧，，通过求导研究其最大值，从而得到的取值范围；（3）借助第一问结论，得到，然后通过变形和构造的思路去证明不等式成立.
试题解析：（1），∵在内恒成立
∴在内恒成立，
∴的单调区间为                                     4分
（2），∵在内恒成立
∴在内恒成立，即在内恒成立，
设，
，，，，
故函数在内单调递增，在内单调递减，
∴，∴                    8分
（3）∵是的零点，∴由（1），在内单调递增，
∴当时，，即，
∴时，∵，∴，
且即
∴，
∴                                                  14分