Question

如图，已知在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，面对角线A₁B、BC₁的中点为E、F，求证：EF∥平面ABCD．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：如图，取BB₁的中点M，由三角形中位线的性质可得 EM∥AB，证明EM∥平面ABCD，FM∥平面A₁B₁C₁D₁ ，从而证明FM∥平面ABCD，可得平面EFM∥平面ABCD，再由两个平面平行的性质可得 EF∥平面ABCD．

解答： 证明：如图
取BB₁的中点M，∵点E、F分别是侧面对角线AB₁、BC₁的中点，
由三角形中位线的性质可得 EM∥AB，而AB?平面ABCD，EM?平面ABCD内，∴EM∥平面ABCD．
同理可证 FM∥平面A₁B₁C₁D₁ ，由平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁ ，
可得FM∥平面ABCD．
由EM∩FM=M，可得平面EFM∥平面ABCD．
∵EF?平面EFM，
∴EF∥平面ABCD．

点评：本题考查证明线面平行的方法，关键是将问题转为线线平行解决，体现了转化的思想．