Question

16．如图，曲线C₁是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一部分，F₁，F₂是其两焦点．曲线C₂是以原点O为顶点、F₂为焦点的抛物线的一部分，A是曲线C₁和C₂的一个公共点，并且∠AF₂F₁为钝角．我们把由曲线C₁和C₂合成的曲线C称为“月食圆”．
①若|AF₁|=7，|AF₂|=5，则曲线C₁、C₂的方程分别为
$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{32}$=1（-6≤x≤3）、y²=8x（0≤x≤3）
②过F₂作直线l，分别于“月食圆”依次交于B、C、D、E四点，若B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），则x₁x₂x₃x₄为定值；
③过F₂作直线l，分别于“月食圆”依次交于B、C、D、E四点，当l与x轴垂直时，$\frac{|CD|}{|BE|}$=$\frac{3}{4}$
④连接BF₁，EF₂，在△BF₁F₂中，记∠F₁BF₂=α，∠BF₁F₂=β，∠F₁F₂B=γ，则e=$\frac{sinα}{sinβ+sinγ}$．
以上说法正确的有①④．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆与抛物线的定义求解方程；（2）利用直线与椭圆抛物线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系进行计算；（3）通径计算公式；（4）利用正弦定理计算．

解答 解：对于①，椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0）．则2a=|AF₁|+|AF₂|=7+5=12，得a=6，
设A（x，y），F₁（-c，0），F₂（c，0），则（x+c）²+y²=7²，（x-c）²+y²=5²，
两式相减得xc=6，由抛物线定义可知|AF₂|=x+c=5，
则c=2，x=3或x=2，c=3，又∠AF₂F₁为钝角，则x=2，c=3舍去．
曲线C₁、C₂的方程别为$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{32}$=1（-6≤x≤3）、y²=8x（0≤x≤3），故①正确；
对于②，当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x=c，x₁x₂x₃x₄=c⁴
当直线l不垂直x轴时，设B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
联立y=$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-c）}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，化为（b²+a²k²）x²-2ca²k²x+a²k²c²-a²b²=0，∴x₁x₂=$\frac{{a}^{2}{k}^{2}{c}^{2}-{a}^{2}{b}^{2}}{{b}^{2}+{a}^{2}{k}^{2}}$，
联立 $y=\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-c）}\\{{y}^{2}=4cx}\end{array}\right.$  化为：k²x²-（2ck²+4c）x+k²c²=0，∴x₃x₄=c²．
∴x₁x₂x₃x₄≠c⁴．因此不为定值，故②错；
对于③，当直线l⊥x轴时，直线l的方程为x=c，从而|CD|=2p=4c，|BE|=$\frac{2{b}^{2}}{a}$，
当l与x轴垂直时，$\frac{|CD|}{|BE|}$≠$\frac{3}{4}$，故③错
对于④，连接BF₁，EF₂，在△BF₁F₂中，由正弦定理可得$\frac{2c}{sinα}=\frac{B{F}_{1}}{sinγ}=\frac{B{F}_{2}}{sinβ}=\frac{B{F}_{1}+B{F}_{2}}{sinγ+sinβ}=\frac{2a}{sinγ+sinβ}$：正确．∴e=$\frac{c}{a}\\;\\;=\frac{sinα}{sinβ+sinγ}$，故④正确．
故答案：①④

点评 本题考查了椭圆与抛物线的标准方程、直线与椭圆抛物线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、通经计算公式、正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．