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    已知函数，其中是自然对数的底数，实数.

    （1）试求函数的单调区间；

    （2）证明：函数的极值点与原点连线的斜率之乘积为定值.


    解析：（1）

    ①当

    令

    ∵，∴

    ∴当

    当

    ②当

    同①可知当，当

    ∴函数的单调递增区间为，

    单调递减区间为

    法二、先求，

    令，

    当时，，当时，

    ∴在和上单调递减，在上单调递增

    将图象在轴下方的图象沿轴翻折到轴上方连同图象原来在轴上方的图象得到的图象

    又， ，及时，

    ∴函数的单调递增区间为，

    单调递减区间为

    (2)由（1）可知当时，函数取极大值，

    且

    可知当时，函数取极大值，

    且

    ∴，

    ∴为定值.


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