Question

已知a、b、c∈R⁺，且a+b+c=1.求证：

(1+a)(1+b)(1+c)≥8(1-a)(1-b)(1-c).

Answer 1

剖析:在条件“a+b+c=1”的作用下，将不等式的“真面目”隐含了，给证明不等式带来困难，若用“a+b+c”换成“1”，则还原出原不等式的“真面目”，从而抓住实质，解决问题.

证明:∵a、b、c∈R⁺且a+b+c=1,

    ∴要证原不等式成立,

    即证［(a+b+c)+a］·［(a+b+c)+b］［(a+b+c)+c］≥8［(a+b+c)-a］·［(a+b+c)-b］·［(a+b+c)-c］,

    也就是证［(a+b)+(c+a)］［(a+b)+(b+c)］·［(c+a)+(b+c)］≥8(b+c)(c+a)(a+b).         ①

    ∵(a+b)+(b+c)≥2＞0,(b+c)+(c+a)≥2＞0,

    (c+a)+(a+b)≥2＞0,

    三式相乘得①式成立.

    故原不等式得证.