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已知的前项和满足,其中
(Ⅰ)求证:首项为1的等比数列;
(Ⅱ)若,求证:,并给指出等号成立的充要条件。
见解析
(Ⅰ)由,即
,故,得 
又由题设条件知
两式相减得 ,即 由 ,知 ,
因此综上对所有成立,从而是首项为1,公比为的等比数列。
(Ⅱ)当时,显然 ,等号成立
 且,由(Ⅰ)知 ,所以要证的不等式化为 
即证:,当 时,上面不等式的等号成立
 时, 与 同为负;当 时 
 同为正,因此当 且 时,
总有,即
上面不等式对从1到 求各得
由此得
综上,当 且 时,有,当且仅当 或时等号成立。
【考点定位】本题考查了数列前n项和的概念,不等式恒成立问题,数学归纳法的应用,合理猜想与逻辑推理的概念.对不等式的考查有一定的难度,综合性较强,需要同学有深厚的功底才能胜任本题的解答,对数学归纳法的考查较深
练习册系列答案
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某企业投资1千万元于一个高科技项目,每年可获利25%.由于企业间竞争激烈,每年底需要从利润中取出资金万元进行科研、技术改造与广告投入,方能保持原有的利润增长率.设经过年后该项目的资金为万元.
1)写出数列的前三项,并猜想写出通项.
2)求经过多少年后,该项目的资金可以达到或超过千万元.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知为等差数列,且
(1)求数列的通项公式; (2)令,求数列的前项和

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知各项均为正数的数列{}满足),且的等差中项. 
(Ⅰ)求数列{}的通项公式
(Ⅱ)令=,是否存在正整数,使 时,不等式恒成立,若存在,求的值;不存在,说明理由.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

下列结论正确的是(         )(写出所有正确结论的序号)
⑴常数列既是等差数列,又是等比数列;
⑵若直角三角形的三边成等差数列,则之比为
⑶若三角形的三内角成等差数列,则
⑷若数列的前项和为,则的通项公式
⑸若数列的前项和为,则为等比数列。

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

中角成等差数列,则=(  )
A.B.C.D.1

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

设等差数列的公差,若的等比中项,则的值为      

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

等差数列中,如果存在正整数),使得前项和,前项和,则(    )
A.B.
C.D.与4的大小关系不确定

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

在数列中,,则 (   )
A.B.C.D.

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