【题目】设,函数.
(1)若,求曲线在处的切线方程;
(2)若无零点,求实数的取值范围;
(3)若有两个相异零点,,求证:.
【答案】(1);(2);(3)见解析.
【解析】
试题分析:(1)求函数的导数,当时,帖点斜式写出切线方程即可;(2)当时,由可知函数有零点,不符合题意;当时,函数有唯一零点有唯一零点,不符合题意;当时,由单调性可知函数有最大值,由函数的最大值小于零列出不等式,解之即可;(3) 设的两个相异零点为,,设,则,,两式作差可得,即,由可得即,
,设上式转化为(),构造函数,证即可.
试题解析: (1)函数的定义域为,,
当时,,则切线方程为,即.
(2)①若时,则,是区间上的增函数,
∵,,
∴,函数在区间有唯一零点;
②若,有唯一零点;
③若,令,得,
在区间上,,函数是增函数;
在区间上,,函数是减函数;
故在区间上,的极大值为,
由于无零点,须使,解得,
故所求实数的取值范围是.
(3)设的两个相异零点为,,设,
∵,,∴,,
∴,,
∵,故,故,
即,即,
设上式转化为(),
设,
∴,
∴在上单调递增,
∴,∴,
∴.
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【题目】已知椭圆(﹥﹥0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆交于两点,坐标原点到直线的距离为,求面积的最大值.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
已知直线的参数方程为为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.且曲线的左焦点在直线上.
(1)若直线与曲线交于两点,求的值;
(2)求曲线的内接矩形的周长的最大值.
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【题目】吉安一中举行了一次“环保知识竞赛”活动,为了解本了次竞赛学生成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为分)作为样本(样本容量为 )进行统计.按照 的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在的数据).
(1)求样本容量和频率分布直方图中的的值;
(2)在选取的样本中,从竞赛学生成绩是分以上(含分)的同学中随机抽取名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动,求所抽取的名同学中得分在的学生人数恰有一人的概率.
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【题目】已知函数为正常数.
⑴若,且,求函数的单调增区间;
⑵在⑴中当时,函数的图象上任意不同的两点,线段的中点为,记直线的斜率为,试证明: .
⑶若,且对任意的, ,都有,求的取值范围.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,已知AB=a,BC=b(a>b),在AB,AD,CB,CD上,分别截取AE=AH=CF=CG=x(x>0),设四边形EFGH的面积为y.
(1)写出四边形EFGH的面积y与x之间的函数关系;
(2)求当x为何值时y取得最大值,最大值是多少?
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【题目】如图,设为单位圆上逆时针均匀分布的六个点,现从这六个点中任选其中三个不同点构成一个三角形,记该三角形的面积为随机变量.
(1)求的概率;
(2)求的分布列及数学期望 .
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